【題目】設(shè)函數(shù)，，其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）證明：當(dāng)，時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

【答案】（1）最小值（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）求出的解析式，求導(dǎo)求單調(diào)性，然后則可求出最小值.（2）總存在兩條直線與曲線與都相切，及與永遠(yuǎn)都存在兩條公切線，分別設(shè)出切點(diǎn)求出切線方程，根據(jù)切線方程為同一條，列出方程組求解，證明等式恒成立即可. （3）即證明當(dāng)時(shí)，.令，求導(dǎo)求令的最小值大于0即可.

解：（1），，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故時(shí)，取得最小值.

（2）∵，

∴在點(diǎn)處的切線方程為；

∵，

∴在點(diǎn)處的切線方程為.

由題意得，則.

令，則，

由（1）得時(shí)，單調(diào)遞增，又，時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

由（1）得，

又，

，所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切.

（3）.

令，以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時(shí)，，；

②當(dāng)時(shí)，，

令，，

又，取且使，即，

則，

∵,故存在唯一零點(diǎn)，

即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，

且，即，故，

∵，故是上的減函數(shù).

∴,所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)在處存在極值－1，且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，，平面PAB，，點(diǎn)E滿足.

（1）證明：；

（2）求二面角A-PD-E的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】螞蟻森林是支付寶客戶端為首期“碳賬戶”設(shè)計(jì)的一款公益行動(dòng)：用戶通過(guò)步行、地鐵出行、在線繳納水電煤氣費(fèi)、網(wǎng)絡(luò)掛號(hào)、網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票等行為就會(huì)減少相應(yīng)的碳排放量，可以用來(lái)在支付寶里養(yǎng)一棵虛擬的樹.這棵樹長(zhǎng)大后，公益組織、環(huán)保企業(yè)等螞蟻生態(tài)伙伴們可以在現(xiàn)實(shí)沙漠化地區(qū)（阿拉善、通遼、庫(kù)布齊等）種下一棵實(shí)體的樹目前通遼地區(qū)對(duì)部分基地樟子松幼苗的培育技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，為了了解改進(jìn)后的效果，現(xiàn)從改進(jìn)前后的樹苗培育基地各抽取了株產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其同樣生長(zhǎng)周期的高度（單位：），若高度不低于才適合移植，否則繼續(xù)等待生長(zhǎng)圖1是改進(jìn)前的樣本的頻率分布直方圖，表2是改進(jìn)后的樣本頻率分布表.

圖1

表2技術(shù)改進(jìn)后樣本的頻率分布表

高度

頻數(shù)

（1）根據(jù)圖1和表2提供的信息，試從移植率的角度對(duì)培育技術(shù)改進(jìn)前后的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

（2）估計(jì)培育技術(shù)未改進(jìn)的基地樹苗高度的平均數(shù)；

（3）在市場(chǎng)中，規(guī)定高度在內(nèi)的為三等苗，內(nèi)的為二等苗，內(nèi)的為一等苗.現(xiàn)從表2高度不低于的樹苗樣本中采用分層抽樣的方法抽取株，再?gòu)倪@株幼苗中隨機(jī)抽取株，求這株中一、二、三等苗都有的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）記為函數(shù)的反函數(shù)．若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：若，且，則.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圖（1）為東方體育中心，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖（2）所示；曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中，曲線是拋物線的一部分；且恰好等于圓的半徑，與圓相切且.

（1）若要求米，米，求與的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若要求不超過(guò)45米，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，問：直線是否定向的，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ設(shè)橢圓C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為E．

當(dāng)時(shí)，射線OE交直線于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值；

當(dāng)，且時(shí)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案