Question

6．已知圓C的方程為x²+y²-6x-8y+24=0，從動點P向圓C引切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，若|PM|=|PO|．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）求使|PM|最小的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化為（x-3）²+（y-4）²=1，圓心C（3，4），半徑r=1．設(shè)P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．由切線的性質(zhì)可得：CM⊥PM，利用|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$及其|PM|=|PO|，可得動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）|PM|²=x²+y²=x²+（3-$\frac{3}{4}$x）²=$\frac{25}{16}$（x-$\frac{36}{25}$）²+$\frac{144}{25}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化為（x-3）²+（y-4）²=1，
圓心C（3，4），半徑r=1．
設(shè)P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CM⊥PM，
∴|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-1}$．
∵|PM|=|PO|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-1}$．
化為3x+4y-12=0．
（Ⅱ）|PM|²=x²+y²=x²+（3-$\frac{3}{4}$x）²=$\frac{25}{16}$（x-$\frac{36}{25}$）²+$\frac{144}{25}$，
當(dāng)x=$\frac{36}{25}$＜2時，|PM|²取得最小值$\frac{144}{25}$，即|PT|取得最小值$\frac{12}{5}$．
x=$\frac{36}{25}$，y=$\frac{48}{25}$時，∴P（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．