Question

14．已知f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得t=sinx+cosx 的范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$=g（t）的范圍．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），則 t²=1+2sinxcosx，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，t∈[1，$\sqrt{2}$]．
∴f（x）=$\frac{sinx+cosx}{1+sinxcosx}$=$\frac{t}{1+\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$=g（t）．
由于y=t+$\frac{1}{t}$在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，故$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$ 在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
故 g（t）=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$ 在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=1時，函數(shù)f（x）=g（t）取得最小值為1，當(dāng) t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）=g（t）取得最大值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．