Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），直線l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，l的方程為$\sqrt{3}$x+2y-4=0．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，M在橢圓C上移動(dòng)時(shí)，作OH⊥l于H，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，同時(shí)聯(lián)立直線l與橢圓方程，計(jì)算即得結(jié)論；
（ II）通過設(shè)直線l并與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0，進(jìn)而可得|OM|²、|OH|²的表達(dá)式，利用|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|化簡即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，（*）
將$\sqrt{3}$x+2y-4=0代入橢圓C，有：
（3a²+4b²）x²-8$\sqrt{3}$a²x+16a²-4a²b²=0，
令△=0得：3a²+4b²=16，（**）
聯(lián)立（*）、（**），解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（ II）設(shè)直線l：y=kx+m，M（x₀，y₀）．
將直線l的方程代入橢圓C得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
令△=0，得m²=4k²+1，且${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OM|²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
又∵|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，
∴聯(lián)立整理可得：16k⁴-8k²+1=0，
解得：k=±$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．