Question

15．在數(shù)列{a_n}中，已知對(duì)于n∈N^*，有a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=（　　）

• A． 4ⁿ-1
• B． $\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）
• C． $\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 法1：利用作差法得出a_n²=4 ^n-1，得到數(shù)列{a_n²}是以4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可．
法2：利用特殊值法進(jìn)行驗(yàn)證排除，分別令n=1，n=2進(jìn)行排除．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1   ①，
∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，
②-①得a _n+1=2ⁿ
∴a_n²=4 ^n-1，
數(shù)列{a_n²}是以4為公比的等比數(shù)列，由a₁=2-1=1，得a₁²=1
由等比數(shù)列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
法2：技巧性做法：（特殊值驗(yàn)證法）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-1=1，則a${\;}_{1}^{2}$=1，
此時(shí)A.4ⁿ-1=3，不滿足．排除A．
B.$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）=1，滿足．
C.$\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）=$\frac{1}{3}$不滿足，排除C．
D．（2ⁿ-1）²=1，滿足．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=3，則a₂=2，則a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$=1+4=5，
此時(shí)B.$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）=5，滿足．
D．（2ⁿ-1）²=9，不滿足，排除D．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和的計(jì)算，利用作差法是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)使用特殊值法進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．此類問題的技巧性方法．