已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，且
AB
=
BP
．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用α表示）；
（2）若O，P，C三點(diǎn)共線，求以線段OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長；
（3）（文科）記函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
，且f（
θ
2
）=
3
2
5
，求sin2θ的值．
（3）（理科）記函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
，α∈（-
π
8
，
π
2
），討論函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由于
AB
=
BP
，可解得
OP
=2
OB
-
OA
．
（2）由O，P，C三點(diǎn)共線，可得
OP
∥
OC
，利用向量共線定理可得2（2cosα-sinα）-sinα=0，可得即可得出tanα，2sinαcosα．即可得出|
OA
+
OB
|及.|
OA
-
OB
|．
（3）（文科）由
BP
=（cosα-sinα，-1），
CA
=（2sinα，-1），利用數(shù)量積可得函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
=
2
sin(2α+
π
4
)．利用f（
θ
2
）=
3
2
5
，可得sin(θ+
π
4
)=
3
5
，
sin2θ=-cos(2θ+
π
2
)=-[1-2sin2(θ+
π
4
)]．
（3）（理科）同文科可得：函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
=
2
sin(2α+
π
4
)．由α∈（-
π
8
，
π
2
），可得(2α+
π
4
)∈(0，
5π
4
)．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：（1）∵
AB
=
BP
，
∴（cosα，0）-（sinα，1）=
OP
-（cosα，0），
解得
OP
=（2cosα-sinα，-1）．
（2）∵O，P，C三點(diǎn)共線，∴
OP
∥
OC
，
∴2（2cosα-sinα）-sinα=0，化為tanα=
sinα
cosα
=
4
3
，
∴2sinαcosα=
2sinαcosα
sin2α+cos2α
=
2tanα
tan2α+1
=
24
25
．
∴|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1
=
2sinαcosα+2
=
24
25
+2
=
74
5
．
|
OA
-
OB
|=
(sinα-cosα)2+1
=
2-2sinαcosα
=
2-2×
24
25
=
26
5
．
∴以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長分別為
74
5
，
26
5
．
（3）（文科）∵
BP
=（cosα-sinα，-1），
CA
=（2sinα，-1），
∴函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin2α=sin2α+cos2α=
2
sin(2α+
π
4
)．
又f（
θ
2
）=
3
2
5
，∴
2
sin(θ+
π
4
)=
3
2
5
，化為sin(θ+
π
4
)=
3
5
，
∴sin2θ=-cos(2θ+
π
2
)=-cos2(θ+
π
4
)=-[1-2sin2(θ+
π
4
)]=-[1-2×(
3
5
)2]=-
7
25
．
（3）（理科）∵
BP
=（cosα-sinα，-1），
CA
=（2sinα，-1），
∴函數(shù)f（α）=
BP
•
CA
=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin2α=sin2α+cos2α=
2
sin(2α+
π
4
)．
∵α∈（-
π
8
，
π
2
），∴(2α+
π
4
)∈(0，
5π
4
)．
當(dāng)(2α+
π
4
)∈(0，
π
2
)時(shí)，即α∈(-
π
8
，
π
8
)，函數(shù)f（α）單調(diào)遞增；
當(dāng)(2α+
π
4
)∈(
π
2
，
5π
4
)時(shí)，即α∈(
π
8
，
π
2
)，函數(shù)f（α）單調(diào)遞減．
∴sin(2α+
π
4
)∈(-
2
2
，1]，
2
sin(2α+
π
4
)∈(-1，
2
]，
∴f（α）的值域?yàn)?span id="2coogso" class="MathJye">(-1，
2
]．
點(diǎn)評：本題綜合考查了向量共線定理、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線l的傾斜角α滿足0°≤α＜150°，且α≠90°，則它的斜率k滿足（　�。�
A、-
3
3
＜k≤0
B、k＞-
3
3
C、k≥0或k＜-
3
D、k≥0或k＜-
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知：a，b，c，d∈R，請用向量方法證明：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），并寫出等號成立的條件；
（Ⅱ）當(dāng)y=2cos x-3sin x取得最大值時(shí)，求tan x的值．

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數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），則a4=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的圖象如圖所示．
（1）求該函數(shù)的解析式；      
（2）若g（x）=f（x-
π
8
），判斷g（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于f（x）=log
1
2
（ax2-2x+4），a∈R，若f（x）的值域?yàn)椋?∞，1]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax，h（x）=x2-xlna-b（a＞0且a≠1，b∈R），設(shè)f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）-h（x）在x=0處的切線的傾斜角為銳角，且對函數(shù)f（x），?x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：
編號12345
x169178166175180
y7580777081
（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中恰有1件是優(yōu)等品的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

隨機(jī)對110名性別不同的跳舞愛好者就喜歡跳廣場舞還是喜歡跳街舞進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下列聯(lián)表
男女總計(jì)
跳街舞50yn
跳廣場舞x20m
總計(jì)60ze
（1）根據(jù)以上表格，寫出x，y，z，e，m，n的值；
（2）是否有99%的把握認(rèn)為喜歡跳廣場舞還是喜歡跳街舞與性別有關(guān)系．
注：如表的臨界值表供參考
P（Χ2≥k）0.100.050.0250.010
k2.7063.8415.0246.635
（參考公式：X2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

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同步練習(xí)冊答案