Question

10．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且PA=AD=CD=a，AB=2a．求：
（1）PD與CB所成的角；
（2）CP與平面PAB所成的角；
（3）二面角P-DC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線所成角的定義即可PD與CB所成的角；
（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義即可求CP與平面PAB所成的角；
（3）根據(jù)二面角的定義找出二面角P-DC-A的平面角進行求解即可．

解答 解：（1）∵PA=AD=CD=a，AB=2a，
∴取AB的中點E，連接DE，CE，
則AE=CD，
∵AB⊥AD，AB∥CD，
∴四邊形ADCE是正方形，四邊形DEBC是平行四邊形，
則DE∥BC，
則PD與DE所成的角就是PD與CB所成的角；
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
則DE=$\sqrt{2}$a，PE=$\sqrt{2}$a，PD=$\sqrt{2}$a，
則△PDE是正△，
則∠PDE=60°，
即PD與CB所成的角為60°．
（2）∵四邊形ADCE是正方形，
∴CE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD，PA?面PAB，
∴面PAB⊥底面ABCD，
則CE⊥面PAB，
則PE是PC在面PAB上的射影，
則∠PCE是CP與平面PAB所成的角，
∵PE=$\sqrt{2}$a，CE=a，
∴tan∠PCE=$\frac{CE}{PE}=\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠PCE=arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即CP與平面PAB所成的角為arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AB⊥AD，∴CD⊥AD
則CD⊥面PAD，
則∠PAD是二面角P-DC-A的平面角，
∵PA=AD，
∴∠PAD=45°，
即二面角P-DC-A的大小為45°．

點評 本題主要考查空間角的求解，涉及異面直線所成的角，直線和平面所成的角，以及二面角的求解，利用定義法分別作出對應(yīng)的平面角是解決本題的關(guān)鍵．