Question

7．如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
（1）當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，求圓形保護(hù)區(qū)的面積；
（2）若古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)M到直線BC的距離最小？

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，求出圓形保護(hù)區(qū)半徑，即可求圓形保護(hù)區(qū)的面積；
（2）求出保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑，利用$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，可得結(jié)論．

解答 解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
由條件知A（0，60），C（170，0），
直線BC的斜率-$\frac{4}{3}$
又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率$\frac{3}{4}$
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則k_BC=$\frac{a-170}$=-$\frac{4}{3}$，k_AB=$\frac{b-60}{a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=80，b=120
所以圓形保護(hù)區(qū)半徑r=AB=$\sqrt{（80-0）^{2}+（120-60）^{2}}$=100
則圓形保護(hù)區(qū)面積為10000πm²．（8分）
（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m（0≤d≤60）
由條件知，直線BC的方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-170），即4x+3y-680=0
由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M（0，d）到直線BC的距離是r
即r=$\frac{680-3d}{5}$
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，
所以$\left\{\begin{array}{l}{r-d≥80}\\{r-（60-d）≥80}\end{array}\right.$，
解得10≤d≤35
則當(dāng)d=10，即OM=10m時(shí)，M到直線BC的距離最�。�（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵在于對(duì)題意的理解，是中檔題．