Question

已知f（x）=-x³+ax，其中a∈R，g（x）=-

1

2

x 

3

2

，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把f（x），g（x）代入f（x）＜g（x），由f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．得到a＜x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

，由導(dǎo)數(shù)求得h（x）在（0，1]上的最小值，則答案可求．

解答： 解：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=-x³+ax+

1

2

x

3

2

，
∵f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
∴F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
∴a＜x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上恒成立，
令h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

，
要求a的取值范圍，使得上式在區(qū)間（0，1]上恒成立，
只需求函數(shù)h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上的最小值．
∵h(yuǎn)′（x）=2x-

1

4 x

=

(2 x -1)(4x+2 x +1)

4 x

，
由h′（x）=0，得（2

x

-1）（4x+2

x

+1）=0．
∵4x+2

x

+1＞0，
∴2

x

-1=0，x=

1

4

．
又∵x∈（0，

1

4

]時，h′（x）＜0，
x∈（

1

4

，1]時，h′（x）＞0，
∴x=

1

4

時，h（x）有最小值h（

1

4

）=-

3

16

，
∴a＜-

3

16

．
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

3

16

)．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了構(gòu)造函數(shù)法和分離變量法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．