Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一點．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明平面EBD內的直線BD，垂直平面SAC內的兩條相交直線AC，SA，即可證明平面EBD⊥平面SAC；
（2）SA=4，AB=2，設AC∩BD=F，連SF，點A到平面SBD的距離為h，利用•S_△SBD•h=•S_△ABD•SA，求點A到平面SBD的距離；
解答：解：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD、
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC、
（2）設AC∩BD=F，連SF，則SF⊥BD、
∵AB=2．∴BD=2．
∵SF===3
∴S_△SBD=BD•SF=•2•3=6．
設點A到平面SBD的距離為h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴•S_△SBD•h=•S_△ABD•SA，
∴6•h=•2•2•4，
∴h=，
∴點A到平面SBD的距離為．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，點、線、面間的距離計算，考查邏輯思維能力，轉化思想，是中檔題．