Question

13．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F．且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，記四邊形ABB₁A₁的面積為S．則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=m，|BF|=n，利用四邊形ABB₁A₁的面積為S，得出S=$\frac{1}{2}•（m+n）•2（m-n）$=m²-n²．再利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則|AA₁|=m，|BB₁|=n，
∵斜率為2，∴|A₁B₁|=2（m-n），
∵四邊形ABB₁A₁的面積為S，
∴S=$\frac{1}{2}•（m+n）•2（m-n）$=m²-n²．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$＞=（m+n）•2（m-n）•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．