Question

4．若動點P到兩個定點F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0）（0＜m＜5）的距離之和為10．
（1）試寫出動點P的軌跡曲線名稱，并求其方程；
（2）動點P的軌跡曲線上是否存在一點Q，使QF₁⊥QF₂，若存在求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在說明理由；
（3）若拋物線y²=x與動點P的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB為等邊三角形，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意結合橢圓的定義求得P點的軌跡方程；
（2）假設存在點P（x₀，y₀），設出P點坐標，利用焦半徑公式及勾股定理可得${{x}_{0}}^{2}=50-\frac{625}{{m}^{2}}$．然后結合x₀的范圍列不等式組求解；
（3）由題意畫出圖形，求出交點坐標，代入橢圓方程求得m值．

解答 解：（1）動點P到兩個定點F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0）（0＜m＜5）的距離之和為10．
由題意定義可知，P點軌跡為焦點在x軸上的雙曲線，且2a=10，a=5．
又c=m，∴b²=a²-c²=25-m²．
則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$；
（2）假設$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$上存在點Q（x₀，y₀），使QF₁⊥QF₂，
則$|Q{F}_{1}|=5+\frac{m}{5}{x}_{0}$，$|Q{F}_{2}|=5-\frac{m}{5}{x}_{0}$．
由QF₁⊥QF₂，得$（5+\frac{m}{5}{x}_{0}）^{2}+（5-\frac{m}{5}{x}_{0}）^{2}=4{m}^{2}$．
整理得：${{x}_{0}}^{2}=50-\frac{625}{{m}^{2}}$．
∵${0≤{x}_{0}}^{2}＜25$，
∴0$≤50-\frac{625}{{m}^{2}}＜25$．
解得：$\frac{5\sqrt{2}}{2}≤m＜5$．
∴動點P的軌跡曲線上存在點Q，使QF₁⊥QF₂，此時實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{5\sqrt{2}}{2}，5$）；
（3）如圖，由題意可得，直線OA的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得：B（$3，\sqrt{3}$）．
把（3，$\sqrt{3}$）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$，得$\frac{9}{25}+\frac{3}{25-{m}^{2}}=1$．
解得：$m=\frac{5\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，訓練了橢圓焦半徑公式的應用，考查了橢圓與拋物線的位置關系，是中檔題．