Question

19．已知f（x）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-2sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可得解；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-2sinxcosx
=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴當sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1時，f（x）_max=$\sqrt{2}$，
當sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1時，f（x）_min=-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的最值，著重考查周期公式的應(yīng)用及余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．