Question

14．已知直線$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$（a，b是實數(shù)）與圓O：x²+y²=1（O是坐標(biāo)原點）相交于A，B兩點，且△AOB是等邊三角形，點P（a，b）是以點M（0，$\sqrt{2}$）為圓心的圓M上的任意一點，則圓M的面積的最大值為（6+4$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，由△AOB是等邊三角形得到a與b的軌跡方程為一個橢圓，圓M的面積最大時，所求半徑為橢圓2a²+b²=4上點P（a，b）到焦點（0，$\sqrt{2}$）的距離最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由圓x²+y²=1，所以圓心（0，0），半徑為1
所以|OA|=|OB|=1，
因為△AOB是等邊三角形，
所以圓心（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$的距離為$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以2a²+b²=4．
因此，圓M的面積最大時，所求半徑為橢圓2a²+b²=4上點P（a，b）到焦點（0，$\sqrt{2}$）的距離最大值，由橢圓的性質(zhì)，可知最大值為2+$\sqrt{2}$．
所以圓M的面積最大值為π（2+$\sqrt{2}$）²=（6+4$\sqrt{2}$）π．
故答案為：（6+4$\sqrt{2}$）π．

點評 本題考查學(xué)生靈活點到直線的距離公式化簡求值，綜合運用所學(xué)的知識求動點形成的軌跡方程，是一道綜合題．