Question

11．$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為60°的兩個單位向量，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos60°=$\frac{1}{2}$，由向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，再由向量的夾角公式cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計算即可得到所求．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為60°的兩個單位向量，可得
$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos60°=$\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{4+1+2}$=$\sqrt{7}$，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{9+4-6}$=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=-6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=-6+2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦為：cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$．
由0°≤θ≤180°，
可得θ=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查的知識點是數(shù)量積表示兩個向量的夾角，其中熟練掌握向量的數(shù)量積公式，模的公式及夾角公式cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$是解答本題的關(guān)鍵．