已知函數(shù),f(x)=cos(-2ωx)+2sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(I )求函數(shù)y=f(x)的最值及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(II )函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?
【答案】分析:(I)利用降次升角公式,及和差角公式(輔助角公式),可將函數(shù)y=f(x)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,結(jié)合函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π,可得ω的值,進而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.
(II)根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則,結(jié)合變換前后函數(shù)的解析式,可分析出函數(shù)變換的方法.
解答:解:(I)∵f(x)=cos(-2ωx)+2sin2ωx=sin2ωx+1-cos2ωx=2sin(2ωx-)+1
又∵ω>0,f(x)的最小正周期為π
故ω=1
故f(x)=2sin(2x-)+1
∵A=2,B=1
故函數(shù)y=f(x)的最大值為3,最小值為-1
由2kπ-≤2x-≤2kπ+
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z
故函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+],(k∈Z)
(II)將函數(shù)y=2sin2x(x∈R)的圖象上的所有點向右平移個單位長度
得到函數(shù)y=2sin2(x-)=2sin(2x-)(x∈R)的圖象;
再將函數(shù)y=2sin2(x-)=2sin(2x-)(x∈R)的圖象上的所有點向上平移1個單位長度
得到函數(shù)f(x)=2sin(2x-)+1的圖象.
點評:本題考查的知識點是兩角差的正弦函數(shù),二倍角公式,正弦型函數(shù)的單調(diào)性,周期性,函數(shù)圖象的變換,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔.
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已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對給定的實數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達式.

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17、已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖象如圖所示,則方程f[g(x)]=0有且僅有
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個根;方程f[f(x)]=0有且僅有
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個根.

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(2012•上海)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、B(
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,5)、C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
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已知函數(shù)y=f(x),x∈R,有下列4個命題:
①若f(1+2x)=f(1-2x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
②y=f(x-2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
③若y=f(x)為偶函數(shù),且y=f(2+x)=-f(x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
④若y=f(x)為奇函數(shù),且f(x)=f(-x-2),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
其中正確命題的個數(shù)為(  )

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已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x3+1.設(shè)f(x)的反函數(shù)是y=g(x),則g(-28)=
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