Question

【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了三款軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這三款軟件的激活碼分別為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的三個(gè)答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，以此類(lèi)推，試根據(jù)下列條件求出三款軟件的激活碼

（1）A款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第四個(gè)三位數(shù)的項(xiàng)數(shù)的平方

（2）B款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第一個(gè)四位數(shù)及其前所有項(xiàng)的和

（3）C款應(yīng)用軟件的激活碼是滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)：①；②該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪

Answer 1

【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897

【解析】

（1）講數(shù)列按照規(guī)律重新書(shū)寫(xiě)成行列形式，依次觀察三位數(shù)出現(xiàn)的順序；

（2）根據(jù)第一問(wèn)重新書(shū)寫(xiě)的形式找到第一個(gè)四位數(shù)1024所在位置即可求和；

（3）先確定第1000項(xiàng)出現(xiàn)在哪一行，再計(jì)算前m行所有項(xiàng)之和，要變成2的整數(shù)冪形式需要再加多少，即可求解.

（1）由題可以將數(shù)列排成如下形式：

1，

1，2，

1，2，4，

1，2，4，8，

1，2，4，8，16，

1，2，4，8，16，32，

…

由2的整數(shù)冪可知：第一個(gè)三位數(shù)是，

下一行產(chǎn)生第二個(gè)和第三個(gè)三位數(shù)，依次是，

下一行產(chǎn)生第四個(gè)三位數(shù)，

觀察數(shù)列規(guī)律：①每行的行數(shù)即該行的項(xiàng)數(shù)，②第行的最后一項(xiàng)，

第三個(gè)三位數(shù)出現(xiàn)在第9行最后一項(xiàng)，第四個(gè)三位數(shù)出現(xiàn)在第10行第8項(xiàng)，

其項(xiàng)數(shù)為，

所以A款應(yīng)用軟件的激活碼是2809.

（2）由2的整數(shù)冪可知第一個(gè)四位數(shù)是，第11行第11項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律：

設(shè)上面數(shù)列第行數(shù)列之和為，可得，

所以第一個(gè)四位數(shù)及其以前所有項(xiàng)之和為

（3）由題：前行一共項(xiàng)，

由條件①，設(shè)，可得，

滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)至少在第45行或大于第45行中的某個(gè)項(xiàng)數(shù)，

根據(jù)條件②：前行所有項(xiàng)之和

，

要滿(mǎn)足這個(gè)數(shù)是2的整數(shù)冪，必須第行前項(xiàng)之和為，且

前項(xiàng)之和

即，，，即，

要使取值最小，只有當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，此時(shí)，

所以滿(mǎn)足條件的最小整數(shù).