【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng)時,證明:.(為自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

(1)函數(shù)的定義域為.

.

當(dāng)時,.

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.

當(dāng)時,.

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)時,.

易知恒成立,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,.

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時,不等式化為.

,則.

顯然上單調(diào)遞增,

.

所以上有唯一的零點,且.

所以當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

,即,得

所以 ,

而易知函數(shù)上單調(diào)遞減,

所以,

所以.

所以,即.

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