Question

19．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值；
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．
（2）轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，利用幾何意義求解即可．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$表示的可行域是ABC，其中A（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），B（-2，-1），C（3，0）
（1）當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}$=4．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}}$，它的幾何意義時(shí)可行域的點(diǎn)與（-3，3）的距離，
由圖形可知（-3，3）到x-y+1=0的距離最小，
可得z=$\frac{|-3-3+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．