Question

9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點（1，1），（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，
（1）求圓C的方程；
（2）過A（1，0）的直線交圓C于E、F兩點，求弦EF中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出線段PQ的垂直平分線的方程，確定圓心坐標(biāo)與半徑，寫出圓的方程即可．
（2）分類討論，利用CM⊥CM⊥AM，可求弦EF中點M的軌跡方程．

解答 解：（1）∵P（1，1），Q（2，-2），
∴${k_{PQ}}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$且PQ的中點$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，
因此線段PQ的垂直平分線的方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（x-\frac{3}{2}）$，即x-3y-3=0，
圓心C的坐標(biāo)是方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$的解，解得C（-3，-2），r²=|PC|²=25．
∴圓C的方程為（x+3）²+（y+2）²=25．
（2）由題知，當(dāng)M不與A、C重合時，CM⊥AM，則M在以AC為直徑的圓上； 
當(dāng)M與A、C重合時，顯然在以AC為直徑的圓上．
因為 A（1，0），C（-3，-2），所以M點的軌跡方程為（x-1）[x-（-3）]+（y-0）[y-（-2）]=0，
整理得（x+1）²+（y+1）²=5．

點評 此題是一道綜合題，要求學(xué)生會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．