【題目】△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, =( ,1), =(sinA,cosA), 與 的夾角為60°. (Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)若sin(B﹣C)=2cosBsinC,求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ =( ,1), =(sinA,cosA), 與 的夾角為60°, ∴ = sinA+cosA=| || |cos60°,
即2sin(A+ )=2×1× =1,
即sin(A+ )= ,
則A+ = 或 ,
則A=0(舍)或A= ;
(Ⅱ)若sin(B﹣C)=2cosBsinC,
則sinBcosC﹣cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC=3cosBsinC,
即tanB=3tanC,
即tan( ﹣C)=3tanC,
即 =3tanC,
﹣tanC=3tanC+3 tan2C,
即3 tan2C+4tanC﹣ =0,
則tanC= = = ,
∵B+C= ,∴0<C<
則tanC>0,∴tanC= ,
由sinBcosC=3cosBsinC,
得 = = = = + ,
即 = + = + × =
【解析】(Ⅰ)根據(jù)向量夾角公式以及向量數(shù)量積的坐標公式和定義建立方程關系進行求解解求角A的大。唬á颍┤魋in(B﹣C)=2cosBsinC,利用正弦定理以及兩角和差的余弦公式進行化簡整理即可求 的值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解余弦定理的定義(余弦定理:;;).
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【題目】如圖,四棱錐中, 底面,底面是直角梯形, , , , ,點在上,且.
(Ⅰ)已知點在上,且,求證:平面平面;
(Ⅱ)當二面角的余弦值為多少時,直線與平面所成的角為?
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,且(2a﹣c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)若 ,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,平面平面四邊形為直角梯形, 四邊形為等腰梯形, 且
(Ⅰ)若梯形內有一點,使得平面,求點的軌跡;
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為,圖中粗線畫出的是某幾何體毛坯的三視圖,第一次切削,將該毛坯得到一個表面積最大的長方體,第二次切削沿長方體的對角面刨開,得到兩個三棱柱,第三次切削將兩個三棱柱分別沿棱和表面的對角線刨開得到兩個鱉臑和兩個陽馬,則陽馬與鱉臑的體積之比為( )
A. B. C. D.
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【題目】設直線與圓交于M、N兩點,且M、N關于直線對稱.
(1)求m,k的值;
(2)若直線與圓C交P,Q兩點,是否存在實數(shù)a使得OP⊥OQ,如果存在,求出a的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行,乙船在B處沿固定方向勻速航行,B在A北偏西105°方向用與B相距10 海里處.當甲船航行20分鐘到達C處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處,此時兩船相距10海里.
(1)求乙船每小時航行多少海里?
(2)在C的北偏西30°方向且與C相距 海里處有一個暗礁E,周圍 海里范圍內為航行危險區(qū)域.問:甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險?若有危險,則從有危險開始,經(jīng)過多少小時后能脫離危險?若無危險,請說明理由.
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【題目】自點A(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線L所在直線的方程。
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【題目】給出以下四個命題:
①若 < <0,則 + >2;
②若a>b,則am2>bm2;
③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;
④任意x∈R,都有ax2﹣ax+1≥0,則0<a≤4.
其中是真命題的有( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
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