Question

6．某工廠要安排生產(chǎn)Ⅰ，Ⅱ兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品要在A，B，C，D四種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，在一天內(nèi)，每件產(chǎn)品在各設(shè)備上需要加工的時間，及各設(shè)備限制最長使用時間如下表：

設(shè)備	產(chǎn)品Ⅰ每件需要加工時間	產(chǎn)品Ⅱ每件需要加工時間	設(shè)備最長使用時間
A	2小時	2小時	12小時
B	1小時	2小時	8小時
C	4小時	0小時	16小時
D	0小時	4小時	12小時

設(shè)計劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ的數(shù)量為x（件），產(chǎn)品Ⅱ的數(shù)量為y（件），
（Ⅰ）用x，y列出滿足設(shè)備限制使用要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）已知產(chǎn)品Ⅰ每件利潤2（萬元）產(chǎn)品Ⅱ每件利潤3（萬元），在滿足設(shè)備限制使用要求的情況下，問該工廠在每天內(nèi)產(chǎn)品Ⅰ，產(chǎn)品Ⅱ各生產(chǎn)多少會使利潤最大，并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用線性規(guī)劃的知識，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）產(chǎn)品Ⅰ的數(shù)量為x，產(chǎn)品Ⅱ的數(shù)量為y，
x，y所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y≤12}\\{x+2y≤8}\\{0≤4x≤16}\\{0≤4y≤12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x+2y≤8}\\{0≤x≤4}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（圖中陰影部分）


（Ⅱ）設(shè)最大利潤為z（萬元），則目標函數(shù)z=2x+3y，
將z=2x+3y變形y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$，這是斜率為-$\frac{2}{3}$，隨z變化的一組平行直線，$\frac{z}{3}$是直線在y軸上的截距，當$\frac{z}{3}$取得最大值時，z的值最大，
又因為x，y所滿足的約束條件，所以由圖可知，當直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$經(jīng)過可行域上的點M時，截距$\frac{z}{3}$最大，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=8}\\{4x=16}\end{array}\right.$得點M坐標為（4，2），此時z=2×4+3×2=14．
所以，每天安排生產(chǎn)4件產(chǎn)品Ⅰ，2件產(chǎn)品Ⅱ，會使利潤最大為14（萬元）．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的應(yīng)用能力．