Question

在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB＝1，AA₁＝，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側(cè)面ABB₁A₁.

(1)證明：BC⊥AB₁；

(2)若OC＝OA，求直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

圖J12­2

Answer 1

解：(1)證明：由題意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，在Rt△ABB₁中，tan∠AB₁B＝＝.

又因為0<∠ABD，∠AB₁B<，所以∠ABD＝∠AB₁B，

所以∠ABD＋∠BAB₁＝∠AB₁B＋∠BAB₁＝，

所以AB₁⊥BD.

又CO⊥側(cè)面ABB₁A₁，且AB₁⊂側(cè)面ABB₁A₁，∴AB₁⊥CO.

又BD與CO交于點O，所以AB₁⊥平面CBD.

又因為BC⊂平面CBD，所以BC⊥AB₁.

(2)如圖所示，分別以OD，OB₁，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，以O為原點，建立空間直角坐標系，

則A0，－，0，B－，0，0，C0，0，，B₁0，，0，D，0，0.