Question

18．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD為直徑的圓分別交AC、BC于E、F．
（1）求證：S_{四邊形CEDF}=BF•AE；
（2）求證：$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

Answer 1

分析 （1）由圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得四邊形CEDF為矩形，再由直角三角形射影定理和平行線分線段成比例定理，即可得到S_{四邊形CEDF}=BF•AE；
（2）運(yùn)用直角三角形的射影定理和圓的切割線定理，可得$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

解答 證明：（1）∵CD為圓的直徑，
∴三角形FCD和三角形ECD分別是以∠CFD和∠CED為直角的直角三角形．
又∠ACB=90°，可得四邊形CEDF為矩形，
S_{四邊形CEDF}=DF•DE．
在直角三角形BDF和直角三角形DAE中，
∠DFC=∠DEA，∠BDF=∠DAE，
即有△BDF∽△DAE，
即為$\frac{BF}{DE}$=$\frac{DF}{AE}$，即DE•DF=BF•AE．
∴S_{四邊形CEDF}=BF•AE．
（2）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°
∴AC²=AD•AB，BC²=BD•BA．∴$\frac{BD}{AD}=\frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}}$（1），
又∵BD²=BC•BF，AD²=AC•AE（切割線定理）
∴$\frac{{B{D^2}}}{{A{D^2}}}=\frac{BC•BF}{AC•AE}$，（2）
由（1）與（2）可得$\frac{BC•BF}{AC•AE}=\frac{{B{C^4}}}{{A{C^4}}}$，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切割線定理、直角三角形的射影定理、平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．