Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，其中g(shù)（x）的函數(shù)圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）確定a與b的關(guān)系；
（Ⅱ）若a≤0，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），求證：$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）通過求導(dǎo)得到g′（x），即可得出其單調(diào)性；
（3）利用斜率計(jì)算公式，利用分析法即可證明．

解答 解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b．
由函數(shù)g（x）的函數(shù)圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g′（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1                …（4分）
（2）由（1）得g′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$（x＞0）
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵a≤0，f′（x）≤0，函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．…（10分）
（3）依題意得k=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
證$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$，即證$\frac{1}{x_2}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{x_1}$
因x₂-x₁＞0，即證$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）則h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可證：lnt＜t-1②
綜①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），即$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．   …（16分）

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分析法的運(yùn)用，根據(jù)所證明的結(jié)論恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．