Question

函數(shù)f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖線如圖，A為圖象的最高點，B、C為圖線與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移一個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若x∈[0，2]，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進而根據(jù)函數(shù)的最大值求得函數(shù)的周期，最后利用周期公式求得ω，則函數(shù)解析式可得．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移法則求得g（x）的解析式，進而根據(jù)x 范圍確定函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx=

3

sin（ωx+

π

3

），
∴f（x）_max=

3

，
∴BC=2，即

T

2

=2，
∴

2π

ω

=4，
∴ω=

π

2

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）；
（Ⅱ）依題意知g（x）=

3

sin[

π

2

（x-1）+

π

3

]=

3

sin（

π

2

x-

π

6

），
∵x∈[0，2]，
∴

π

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

3

sin（

π

2

x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，
即函數(shù)g（x）的值域為：[-

3

2

，

3

]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題的過程中注意結(jié)合三角函數(shù)圖象來解決．