Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，其前n項的積為T_n，首項a₁＞1，a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，

a2014-1

a2015-1

＜0，則使T_n＞1成立的最大自然數(shù)n=

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合首項a₁＞1，a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，

a2014-1

a2015-1

＜0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵a₂₀₁₄a₂₀₁₅-1＞0，∴a₂₀₁₄a₂₀₁₅＞1，
又∵

a2014-1

a2015-1

＜0，∴a₂₀₁₄＞1，且a₂₀₁₅＜1．
T₄₀₂₈=a₁•a₂…a₄₀₂₈=（a₁•a₄₀₂₈）（a₂•a₄₀₂₇）…（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）=（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）²⁰¹⁴＞1，
T₄₀₂₉=a₁•a₂…a₄₀₂₉=（a₁•a₄₀₂₉）（a₂•a₄₀₂₈）…（a₂₀₁₄•a₂₀₁₆）a₂₀₁₅＜1，
∴使T_n＞1成立的最大自然數(shù)n=4028．
故答案為：4028．

點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q則有a_m•a_n=a_p•a_q．其中根據(jù)已知條件得到a₂₀₁₄a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₄＞1，且a₂₀₁₅＜1是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．