Question

函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論①當(dāng)a=

1

2

②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，③當(dāng)a≥1時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁=x₂，f′（x）=-

1 2 (x-1)2

x2

＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x+a-1＞0，解得：

1

a

-1＜x＜1，
此時(shí)f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
③當(dāng)a≥1時(shí)，由于

1

a

-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
綜上：①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
③當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．