Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處在直線y=8相切，建立方程組，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2），令f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-3a
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處在直線y=8相切
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=3（4-a）=0}\\{f（2）=8-6a+b=8}\end{array}\right.$，
∴a=4，b=24
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2；
令f′（x）＜0，可得-2＜x＜2
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．