Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上的一點(diǎn)．
（1）若△PF₁F₂周長(zhǎng)為6，離心率e=

1

2

，求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F₂做斜率為k的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交Y軸與點(diǎn)M，且

MB

=

BF2

，若|k|≤

14

2

，求橢圓C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用△PF₁F₂周長(zhǎng)為6，離心率e=

1

2

，建立方程組，求出a，c，即可求出b，從而可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AB方程為y=k（x-c），利用

MB

=

BF2

，求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出k，利用|k|≤

14

2

，即可求橢圓C的離心率e的取值范圍．

解答： 解：（1）∵△PF₁F₂周長(zhǎng)為6，離心率e=

1

2

，
∴

2a+2c=6 c a = 1 2

，解得a=2，c=1，∴b=

3

，
∴所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1-------------（4分）
（2）由已知設(shè)直線AB方程為y=k（x-c），則M（0，-kc），F(xiàn)₂（c，0），
∵

MB

=

BF2

，∴B(

c

2

，-

kc

2

)．-------------（6分）
∵點(diǎn)B在橢圓C上，
∴

c2

4a2

+

k2c2

4b2

=1，
則k2=(1-

c2

4a2

)

4b2

c2

=

4a2-c2

4a2

•

4(a2-c2)

c2

≤

7

2

-------------（8分）
∴8a⁴-17a²c²+2c⁴≤0，
即2e⁴-17e²+8≤0（2e²-1）（e²-8）≤0，
∴

1

2

≤e2≤8，
∵橢圓的離心率小于1
∴

2

2

≤e＜1-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定a，c的關(guān)系是求求橢圓C的離心率e的取值范圍的關(guān)鍵．