已知銳角△ABC內(nèi)接于單位圓O，證明：cosA+cosB+cosC＜
1
2
（AB+BC+CA）
考點：正弦定理的應(yīng)用,正弦定理
專題：解三角形
分析：充分利用銳角△ABC這個條件得A+B＞
π
2
，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性比較sinA與cosB大小利用正弦定理，即可得到結(jié)論．
解答： 證明：∵△ABC是銳角三角形，
A+B＞
π
2
，
∴
π
2
＞A＞
π
2
-B＞0，
∴sinA＞sin（
π
2
-B），
即sinA＞cosB；
同理sinB＞cosC；sinC＞cosA，
∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC．
∵△ABC內(nèi)接于單位圓O，
∴半徑R=1
∴由正弦定理
AB
sinC
=
AC
sinB
=
BC
sinA
=2R=2，
可得sinA=
1
2
BC，sinB=
1
2
CA，sinC=
1
2
AB，
即sinA+sinB+sinC=
1
2
（AB+BC+CA），
∴cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC=
1
2
（AB+BC+CA），
即cosA+cosB+cosC＜
1
2
（AB+BC+CA）成立．
點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，根據(jù)條件先證明sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC是解決本題的關(guān)鍵，然后利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．
（1）求證：直線AC與平面D1EF平行；
（2）求二面角D-EF-D1的正弦值；
（3）求直線AC與平面D1EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：直線y=x+t與拋物線y2=4x有兩個交點；命題q：關(guān)于x的方程x2-tx+4=0有實根．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡下列式子：
（1）(
x5y-3
2xy5
)-4+
4x5y-10
(3x-2y2)-3
；
（2）(
4b3c
1
3
6c
1
5
b
)
1
2
+(2b3c-
1
5
)-
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上的一點．
（1）若△PF1F2周長為6，離心率e=
1
2
，求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F2做斜率為k的直線與橢圓C交于A，B兩點，交Y軸與點M，且
MB
=
BF2
，若|k|≤
14
2
，求橢圓C的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=ax+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在負(fù)實數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對x∈D，如果函數(shù)F（x）的圖象在函數(shù)G（x）的圖象的下方（沒有公共點），則稱函數(shù) F（x）在D上被函數(shù)G（x）覆蓋，若函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（1，+∞）上被函數(shù)g（x）=x3覆蓋，求實數(shù)a的取值范圍．（注：e是自然對數(shù)的底數(shù)，[ln（-x）]′=
1
x
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量
m
=（a+c，a-b），
n
=（sinB，sinA-sinC），且
m
∥
n
，
（1）求∠C的大��；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為拋物線C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交于B、D兩點．
（Ⅰ）若∠BFD=90°，且△BFD的面積為4，求p的值及圓F的方程；
（Ⅱ）若A、B、F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到m、n距離的比值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒開始時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后
 
分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存32MB（1MB=210KB）．

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同步練習(xí)冊答案