Question

探究函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7
y	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）寫出f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減；
（3）若不等式2x-2k≤1-

8

x

對x＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，即可寫出f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減；
（3）將不等式2x-2k≤1-

8

x

對x＜0恒成立轉(zhuǎn)化為最值恒成立，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)0＜x＜2時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞2時函數(shù)單調(diào)遞增，
即f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞），遞減區(qū)間為（0，2]；
（2）證明：函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減；
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=(x1-x2)?

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?

x1x2-4

x1x2

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減．
（3）若不等式2x-2k≤1-

8

x

對x＜0恒成立，
則等價為2x+

8

x

≤1+2k，
即x+

4

x

≤

1+2k

2

，
設(shè)g（x）=x+

4

x

，
則g（x）在{x|x≠0}上為奇函數(shù)，
∴根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，0）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＜0時，函數(shù)的最大值為g（-2）=-2-2=-4，
∴要使x+

4

x

≤

1+2k

2

恒成立，
則

1+2k

2

≥-4，
解得k≥-

9

2

，
實數(shù)k的取值范圍是k≥-

9

2

．

點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，要求熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．