Question

20．已知二次函數(shù)g（x）=x²-2mx+1（m＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值4．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）設(shè)f（x）=$\frac{g（x）-2x}{x}$．若f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]時(shí)恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是二次函數(shù)，求出對(duì)稱軸方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值，推出m的值即可．
（2）通過(guò)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)是二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（1）g（x）=（x-m）²+1-m²
函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=m，
①m≤$\frac{3}{2}{，g（x）}_{max}$=g（3）=10-6m=4，解得m=1
②m＞$\frac{3}{2}{，g（x）}_{max}$=g（0）=1（不符題意）
∴g（x）=x²-2x+1．
（2）∵f（x）=$\frac{g（x）-2x}{x}$，∴f（x）=$x+\frac{1}{x}$-4．
∵f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]時(shí)恒成立，即${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}-4-k•{2}^{x}≤0$在x∈[-3，3]時(shí)恒成立，
∴k≥$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-4（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1在x∈[-3，3]時(shí)恒成立，只需k≥[$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-4（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1]_max．
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，由x∈[-3，3]得t∈[$\frac{1}{8}$，8]．
設(shè)h（t）=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∴函數(shù)h（t）的圖象的對(duì)稱軸方程為t=2．
當(dāng)t=8時(shí)，取得最大值33．
∴k≥h（x）_max，∴k的取值范圍為[33，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立以及構(gòu)造法轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．