Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差數(shù)列{b_n}滿足b₆=6，b₉=12，
（1）分別求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)于任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{3}$）•k≥b_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1，可得a_n+1=4a_n，即有數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d=2，進(jìn)而得到{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，可得$\frac{1}{3}$k≥$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$的最大值，令c_n=$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$，判斷單調(diào)性，可得最大值，解不等式可得k的范圍．

解答 解：（1）S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），可得
S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）（n≥2），
即為a_n+1=4a_n，
則數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
則a_n=4^n-1；
等差數(shù)列{b_n}滿足b₆=6，b₉=12，
設(shè)公差為d，可得3d=b₉-b₆=6，
解得d=2，即有b_n=b₆+（n-6）d=2n-6．
（2）對(duì)于任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{3}$）•k≥b_n恒成立，
即有（$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+$\frac{1}{3}$）•k≥2n-6，
可得$\frac{1}{3}$k≥$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$的最大值，
令c_n=$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$，
由c_n+1-c_n=$\frac{2（n+1）-6}{{4}^{n+1}}$-$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$=$\frac{20-6n}{{4}^{n}}$，
當(dāng)1≤n≤4時(shí)，數(shù)列{c_n}遞增；
當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{c_n}遞減．
可得c₄為最大值，且為$\frac{1}{128}$，
即有$\frac{1}{3}$k≥$\frac{1}{128}$，
解得k≥$\frac{3}{128}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，注意數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列不等式恒成立的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．