Question

在如圖所示的多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．
（Ⅰ）求證：BC∥EF；
（Ⅱ）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能證明BC∥EF．
（Ⅱ）在平面ABCD內(nèi)作BH⊥AD于點H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱錐B-DEF的體積．

解答： 解：（Ⅰ）因為AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，…3分
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，
所以BC∥EF．…6分
（Ⅱ）在平面ABCD內(nèi)作BH⊥AD于點H，
因為DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，
又AD、DE?平面ADEF，AD∩DE=D，
所以BH⊥平面ADEF，
所以BH是三棱錐B-DEF的高．…10分
在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以BH=

3

，
因為DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，
又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，
所以AD∥EF，所以DE⊥EF，
所以三棱錐B-DEF的體積：
V=

1

3

×S△DEF×BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

=

3

6

．…13分．

點評：本題考查兩直線平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．