Question

9．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的體積是$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱長是2，根據(jù)三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，求出半徑即可求出球的體積．

解答 解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面是邊長為3的正三角形ABC，側(cè)棱長是2，
三棱柱的兩個底面的中心連接的線段MN的中點O與三棱柱的頂點A的連線AO就是外接球的半徑，
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，MN=2，
∴AM=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}×\frac{2}{3}$=$\sqrt{3}$，OM=1，
∴這個球的半徑r=$\sqrt{3+1}$=2，
∴這個球的體積V=$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π，
故答案為：$\frac{32}{3}$π．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查三棱柱的外接球的體積的求法，外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．