Question

4．已知圓E過點A（1，-1），B（-1，1），且圓心E在直線l：x+y-2=0上，直線l′與直線l關于原點對稱，過直線l′上點P向圓E引兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（Ⅰ）求圓E的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN恒過一個定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法求圓E的方程；
（Ⅱ）線段MN為圓F、圓E的公共弦，求出其方程，即可證明：直線MN恒過一個定點．

解答 （Ⅰ）解；設圓E的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
解得a=b=1，r=2   …（4分）
∴圓E的方程為（x-1）²+（y-1）²=4 …（5分）
（Ⅱ）證明：直線l關于原點對稱的直線l′的方程為x+y+2=0…（7分）
由已知得，∠PME=90°=∠PNE
所以以PE為直徑的圓F過點M，N，故線段MN為圓F、圓E的公共弦．…（8分）
設P（a，b），則圓F的方程為$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}+（y-\frac{b+1}{2}）^{2}$=$（\frac{a+1}{2}-1）^{2}$+$（\frac{b+1}{2}-1）^{2}$
即x²+y²-（a+1）x-（b+1）y+a+b=0  ①…（9分）
又圓E的方程為x²+y²-2x-2y-2=0  ②
②-①得直線MN的方程為（a-1）x+（b-1）y-a-b-2=0…（10分）
又點P在直線l≤上，所以a+b+2=0，
∴（a-1）x+（-a-3）y=0…（11分）
∴a（x-y）-x-3y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-x-3y=0}\end{array}\right.$，
∴x=y=0
∴直線MN過定點（0，0）．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．