Question

14．拋物線C：y²=4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線C上一點，且P在第一象限，PM⊥l交l于點M，線段MF與拋物線C交于點N，若$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，則PF的斜率為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，則cos∠MNQ，利用二倍角公式求出tan∠MFO，然后求出P的坐標，即可得到直線的斜率．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），
過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，
$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，則$\frac{|MN|}{|QN|}$=$\sqrt{5}$，∴cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos∠MFO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．tan∠MFO=2，
∴M（-1，4），∴P（4，4）．
∴${K}_{PF}=\frac{4-0}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了拋物線的性質，三角函數的恒等變換，屬于中檔題．