Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

nan

3n

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)條件，建立方程組，構(gòu)造等比數(shù)列即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法以及分組求和法即可求數(shù)列{

nan

3n

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），
兩式相減得2（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n-2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
即2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，則a_n+1=3a_n+2ⁿ，
整理得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
即{a_n+2ⁿ}是首項(xiàng)為a₁+2=1+2=3，公比q=3的等比數(shù)列，
則a_n+2ⁿ=3•3^n-1=3ⁿ，
則a_n=3ⁿ-2ⁿ，即數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）∵a_n=3ⁿ-2ⁿ，∴

nan

3n

=

n(3n-2n)

3n

=n（1-（

2

3

）ⁿ）=n-n•（

2

3

）ⁿ，
設(shè)數(shù)列{n•（

2

3

）ⁿ}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=1•（

2

3

）¹+2•（

2

3

）²+…+n•（

2

3

）ⁿ，

2

3

S_n=1•（

2

3

）²+2•（

2

3

）³+…+n•（

2

3

）ⁿ⁺¹，
兩式相減得

1

3

S_n=1•（

2

3

）¹+（

2

3

）²+…+（

2

3

）ⁿ-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹
=2-2•（

2

3

）ⁿ-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹，
則S_n=6-6•（

2

3

）ⁿ-3n•（

2

3

）ⁿ⁺¹=6-（6+2n）•（

2

3

）ⁿ，
則數(shù)列{

nan

3n

}的前n項(xiàng)和T_n=S_n+1+2+…+n=6-（6+2n）•（

2

3

）ⁿ+

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用分組求和法以及錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．