Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=BC=2，B₁E=BE，∠A₁DE=90°，∠ACB=90°，求證：A₁D⊥CD．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知條件推導(dǎo)出CD⊥AB，AA₁⊥CD，從而得到CD⊥面A₁ABB₁，由此能證明A₁D⊥CD．

解答： 證明：連結(jié)AE，在△ABC中，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=

4+4

=2

2

，
在△A₁B₁E中，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁=AC=BC=2，B₁E=BE，
∴A1E=

8+1

=3，
在△AA₁D中，A1D2=AA12+AD2，
在△BDE中，DE²=BE²+BD²，
在△A₁DE中，AE2=A1D2+DE2=AA₁²+AD²+BE²+BD²，
∵AB=AD+BD，∴AD=BD=

2

，
∴D是AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥CD，
∴CD⊥面A₁ABB₁，
∵A₁D?面A₁ABB₁，∴A₁D⊥CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．