Question

對(duì)某校高三學(xué)生一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加體育活動(dòng)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求a的值，并根據(jù)此直方圖估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)的中位數(shù)（精確到個(gè)位數(shù)）；
（Ⅱ）在所取的樣本中，從參加體育活動(dòng)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任取4人，記此4人中參加體育活動(dòng)不少于25次的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由分組[10，9）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，由此能求出a的值，據(jù)此直方圖估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)的中位數(shù)．
II）根據(jù)題意ξ可能取值為0，1，2．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（I）由分組[10，9）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，
∴

10

M

=0.25，∴M=40，即頻數(shù)之和為40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，
∴p=

4

40

=0.10，∵a是對(duì)應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，∴a=

24

40×5

=0.12．
下面找面積平分線，解得中位數(shù)為15+

25

60

×5=17

1

12

≈17．
（II）根據(jù)題意ξ可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=

C 4 4

C 4 6

=

1

15

，P（ξ=1）=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

=

8

15

，P（ξ）=

C 2 4 C 2 2

C 4 6

=

2

5

，

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

∴ξ的分布列為Eξ=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

6

15

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用