Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=

x+1

x+2

，若對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由分離常數(shù)法化簡解析式，并判斷出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化為：f（|t+a|）＞f（|t-1|），利用單調(diào)性得|t+a|＞|t-1|，
化簡后轉化為：對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，根據(jù)關于t的一次函數(shù)列出a的不等式進行求解．

解答： 解：∵當x＞0時，f（x）=

x+1

x+2

=

x+2-1

x+2

=1-

1

x+2

，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（t+a）-f（t-1）＞0得，f（t+a）＞f（t-1），
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（|t+a|）＞f（|t-1|），則|t+a|＞|t-1|，
兩邊平方得，（2a+2）t+a²-1＞0，
∵對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，
∴對任意實數(shù)t∈[

1

2

，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，
則

(2a+2)× 1 2 +a2-1＞0 (2a+2)×2+a2-1＞0

，化簡得

a2+a＞0 a2+4a+3＞0

，
解得，a＞0或a＜-3，
實數(shù)a的取值范圍是：a＞0或a＜-3．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，以及恒成立的轉化問題，二次不等式的解法，屬于中檔題．