Question

設(shè)橢圓

x2

4

+y2=1的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是該橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積等于

 

．

Answer 1

分析：由余弦定理結(jié)合橢圓的定義，經(jīng)整體運(yùn)算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，進(jìn)而求其面積．

解答：解：在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2

3

)2=12 ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即|PF1|•|PF2|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面積S=

1

2

|PF1|•|PF2|sin60°=

3

3

．
故答案為：

3

3

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．本題將圓錐曲線與三角問題巧妙的交匯在一起，事實上，在橢圓中S=b²tanθ，同理可求得在雙曲線中S=

b2

tanθ

（其中θ=

∠F1PF2

2

）．