Question

8．利用一個(gè)球體毛坯切削后得到一個(gè)四棱錐P-ABCD，其中底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA=1，且PA⊥平面ABCD，則毛球體壞體積的體積最小應(yīng)為$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

Answer 1

分析 將四棱錐P-ABCD補(bǔ)全為一個(gè)正方體，得出正方體為球的內(nèi)接正方體時(shí)球的體積最小，由此求出球的體積．

解答 解：如圖，
將四棱錐P-ABCD補(bǔ)全為一個(gè)正方體，則：
當(dāng)正方體為球的內(nèi)接正方體時(shí)球的體積最小，
此時(shí)正方體的體對(duì)角線為球的直徑，
長(zhǎng)為2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$，R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}π$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的體積公式的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解題的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．