【題目】如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是中點，是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平面幾何知識證明 從而可得 面，可得 ，進而得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得結論；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.

試題解析：（1）證明：連接，因為為菱形，所以，又，

，所以面.

故.

因為，且，所以面.

而，所以平面平面；

（2）因為是二面角的平面角，所以，又是中點，

所以，所以為等邊三角形.

如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

不妨設，則，，，.

設是平面的一個法向量，則

，即，

取得.

所以，

所以直線與平面所成的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查利用求二面角，面面垂直的判定定理，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的焦點為,過點的直線交于兩點,交軸于點到軸的距離比小.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）若，求的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若對于任意x∈R，都有f（x﹣2）≤f（x），則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ， ]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ， ]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐S﹣ABCD，底面ABCD為菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F(xiàn)分別是SC，BC的中點．

（1）證明：SD⊥AF；
（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），數(shù)列的前項和為，點在圖象上，且的最小值為.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求證： .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列結論正確的個數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題；
②命題“x∈R，x2+2＜0”是全稱命題；
③若p：x∈R，x2+4x+4≤0，則q：x∈R，x2+4x+4≤0是全稱命題．
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（， ， ），是自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當， 時，求函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）若，求在上的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（只填正確說法序號）
①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，則A∩B={（0，﹣1），（1，0）}；
② 是函數(shù)解析式；
③ 是非奇非偶函數(shù)；
④設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則f（x1+x2）=c．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設命題p：f（x）= 在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；命題q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩個實根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q為真，試求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案