Question

9．非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夾角為60°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． （0，$\sqrt{3}$]
• C． （1，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 對(duì)$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=1$兩邊平方，便得${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1$，從而$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=1+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$1+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，這樣只要求$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$的范圍即可：根據(jù)$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=1+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$便可得出$1+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，這樣便可得出$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$的范圍，從而得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的取值范圍．

解答 解：$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=1$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為60°；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow{|}^{2}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+1=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$；
$0＜|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≤1$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$；
∴$1＜|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}≤3$；
∴$1＜|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|≤\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的取值范圍為$（1，\sqrt{3}]$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量長(zhǎng)度$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，基本不等式在求范圍中的應(yīng)用，完全平方式的運(yùn)用．