Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}$  求：
（1）f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式中分母不為0，求出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷f（x）是定義域上的奇函數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}$，
∴3^x-1≠0，解得x≠0；
∴f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）f（x）的定義域關于原點對稱，
且f（-x）+f（x）=（$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）
=$\frac{{3}^{x}}{1{-3}^{x}}$+$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+1
=-1+1
=0；
∴f（x）是定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．

點評 本題考查了求函數(shù)的定義域和判斷奇偶性問題，是基礎題．