Question

18．北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能AlphaGo與韓國棋手李世石進行最后一輪較量，AlphaGo獲得本場比賽勝利，最終人機大戰(zhàn)總比分定格在1：4．人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”．

	非圍棋迷	圍棋迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

（1）根據(jù)已知條件完成如圖列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學(xué)生，抽取3次，記所抽取的3名學(xué)生中的“圍棋迷”人數(shù)為X．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（x2≥k0）	0.05	0.010
k0	3.74	6.63

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求在抽取的100人中“圍棋迷”有25人，填寫2×2列聯(lián)表，計算觀測值，比較臨界值即可得出結(jié)論；
（2）由頻率分布直方圖計算頻率，將頻率視為概率，得出X～B（3，$\frac{1}{4}$），計算對應(yīng)的概率，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望與方差．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，
從而2×2列聯(lián)表如下：

	非圍棋迷	圍棋迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{100{{（30×10-45×15）}^2}}}{75×25×45×55}=\frac{100}{33}≈3.030$；
因為3.030＜3.841，所以沒有理由認為“圍棋迷”與性別有關(guān)；
（2）由頻率分布直方圖知抽到“圍棋迷”的頻率為0.25，
將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“圍棋迷”的概率為$\frac{1}{4}$，
由題意X～B（3，$\frac{1}{4}$），P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（1-\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{4}$•${（1-\frac{1}{4}）}^{2}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$•（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=np=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
方差為$D（X）=3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了分布列與數(shù)學(xué)期望、方差的計算問題，是綜合題．