Question

14．某高中學(xué)校在2015年的一次體能測(cè)試中，規(guī)定所有男生必須依次參加50米跑、立定跳遠(yuǎn)和一分鐘的引體向上三項(xiàng)測(cè)試，只有三項(xiàng)測(cè)試全部達(dá)標(biāo)才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳遠(yuǎn)的測(cè)試與男生乙的50米跑測(cè)試已達(dá)標(biāo)，男生甲還需要參加一分鐘的引體向上測(cè)試，男生乙還需要參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上兩項(xiàng)測(cè)試，若甲參加一分鐘引體向上測(cè)試達(dá)標(biāo)的概率為p，乙參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上的測(cè)試達(dá)標(biāo)的概率均為$\frac{1}{2}$，甲乙每一項(xiàng)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)互不影響，已知甲和乙同時(shí)合格的概率為$\frac{1}{6}$．
（Ⅰ）求p的值，并計(jì)算甲和乙恰有一人合格的概率；
（Ⅱ）在三項(xiàng)測(cè)試項(xiàng)目中，設(shè)甲達(dá)標(biāo)的測(cè)試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為x，乙達(dá)標(biāo)的測(cè)試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為y，記ξ=x+y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A₁=“甲引體向上測(cè)試達(dá)標(biāo)”，B₁=“乙立定跳遠(yuǎn)測(cè)試達(dá)標(biāo)”，B₂=“乙引體向上測(cè)試達(dá)標(biāo)”，則P（A₁）=p，P（B₁）=P（B₂）=$\frac{1}{2}$，由此利用題設(shè)條件求出p=$\frac{2}{3}$，設(shè)事件A=“甲測(cè)試合格”，B=“乙測(cè)試合格”，則P（A）=$\frac{2}{3}$，P（B）=P（B₁B₂）=$\frac{1}{4}$，由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率．
（Ⅱ）由已知得隨機(jī)變量x的取值為2，3，隨機(jī)變量y的取值為1，2，3，ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A₁=“甲引體向上測(cè)試達(dá)標(biāo)”，B₁=“乙立定跳遠(yuǎn)測(cè)試達(dá)標(biāo)”，
B₂=“乙引體向上測(cè)試達(dá)標(biāo)”，則P（A₁）=p，P（B₁）=P（B₂）=$\frac{1}{2}$，
∵甲乙每一項(xiàng)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)互不影響，甲和乙同時(shí)合格的概率為$\frac{1}{6}$，
∴p×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{6}$，解得p=$\frac{2}{3}$，
設(shè)事件A=“甲測(cè)試合格”，B=“乙測(cè)試合格”，
則P（A）=$\frac{2}{3}$，P（B）=P（B₁B₂）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴甲和乙恰有一人合格的概率：
p=P（A$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$B）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）由已知得隨機(jī)變量x的取值為2，3，隨機(jī)變量y的取值為1，2，3，
∴ξ的可能取值為3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=5）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

∴E（ξ）=$3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{5}{12}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．