Question

9．設函數y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0且f（x+1）=f（x-1），若x∈（0，1）時，f（x）=log₂$\frac{1}{1-x}$，則y=f（x）在（1，2）內是（　�。�

• A． 單調增函數，且f（x）＜0
• B． 單調減函數，且f（x）＜0
• C． 單調增函數，且f（x）＞0
• D． 單調增函數，且f（x）＞0

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的奇偶性和周期性，結合函數奇偶性和單調性之間的關系進行判斷即可．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
即函數f（x）是奇函數，
∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函數f（x）是周期為2的函數，
設t=$\frac{1}{1-x}$，則函數在x∈（0，1）上為增函數，y=log₂t為增函數，則函數f（x）為增函數，
則函數f（x）在（-1，0）上為增函數，
∵函數的周期是2，
∴函數f（x）在（1，2）上為增函數，
若x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
則f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$，
∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$=-f（x），
即f（x）=-log₂$\frac{1}{1+x}$=log₂（x+1），
當x∈（-1，0），則x+1∈（0，1），則f（x）＜0，
即函數y=f（x）在（1，2）內是單調增函數，且f（x）＜0，
故選：A

點評 本題主要考查函數奇偶性和周期性與單調性的應用，結合函數奇偶性的定義以及函數周期性的性質是解決本題的關鍵．綜合考查函數的性質．